数论基础知识2---欧几里得

数论基础知识2---欧几里得

leaf
2022-02-06 / 0 评论 / 4 阅读 / 正在检测是否收录...

2.1.1利用辗转相除法求最大公约数
GCD

int gcd(int a,int b){

return b==0?a:gcd(b,a%b);

}

2.1.2最小公倍数
LCM

int lcm(int a,int b){

return a/gcd(a,b)*b;

}

2.2.1 扩展欧几里得算法求ax+by=gcd(a,b)的解(x0,y0)

void extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){

if(b==0){
    x=1,y=0;
    return ;
}
extend_gcd(a,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
} 

2.2.2求任意方程ax+by=n的一个整数解
1)判断该方程是否有解,有解的条件为gcd(a,b)可以整除n;
2) 用扩展欧几里得算法得到ax+by=gcd(a,b)的一个解(x0,y0);
3) 在ax+by=gcd(a,b)同时乘n/gcd(a,b)

a*n/gcd(a,b)x+b*n/gcd(a,b)y=n;

4) 对照ax+by=n 得到它的一个解

x'0=x0*n/gcd(a,b);
y'0=y0*n/gcd(a,b);

蓝桥杯例题
包子凑数
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼,其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼,可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子,卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来,使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼,分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时,大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的(也可能选出1笼3个的再加2笼4个的)。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼,分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时,大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)

以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个,输出INF。

实例

输入:

2

4

5

输出:

6

输入:

2

4

6

输出:

INF

思路:
a1x1+a2x2+a3x3+a4x4...=n 当ai不互质时,即gcd(a1,a2,...)不等于1时,方程存在无解的情况,即可能出现凑不出的数为无线多个
若a1能够凑出,a1的倍数也可以凑出
a2 能够凑出,a2,a1+a2的倍数也可以凑出
...
即当f[j]存在,f[j+a[i]]也存在。
核心代码

    if(i==1)g=a[i];
    else g=gcd(g,a[i]);//求得蒸笼间的最大公约数
    for(int j=0;j<10000;++j){
        if(f[j])f[j+a[i]]=true;//将所有能够凑出的数置为真。
    }

全部代码

include<iostream>

include<stdio.h>

using namespace std;
int n,g;
int a[101];
bool f[10000];
int gcd(int a,int b){//GCD

if(b==0)return a;
return gcd(b,a%b);

}
int main(){


scanf("%d",&n);//蒸笼个数
f[0]=true;
for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);//每个蒸笼所能装下的包子数
    if(i==1)g=a[i];
    else g=gcd(g,a[i]);
    for(int j=0;j<10000;++j){
        if(f[j])f[j+a[i]]=true;
    }
}
if(g!=1){
    printf("INF\n");
    return 0;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<10000;i++){
    if(!f[i]){
        ans++;
    //    cout<<i<<endl;可将所有凑不出的数目打印出来
    }
}
cout<<ans<<endl;

}

0

评论

博主关闭了所有页面的评论